СКЛАДУ НМТ — математика

Вариант № 8003

Принтер друкує одну сторінку протягом 14 секунд. Скільки сторінок можна надрукувати на цьому принтері за 7 хвилин?

А) 37

Б) 32

В) 34

Г) 30

Д) 27

Знайти ціну 1 кг суміші, складеної з 6 кг горіхів по 300 руб. і 4 кг горіхів по 450 руб.

А) 360 руб.

Б) 320 руб.

В) 375 руб.

Г) 400 руб.

Д) 380 руб.

Розгорнення конуса є

А) круговий сектор

Б) коло

В) трикутник

Г) прямокутник

Д) трапецiя

Спростіть вираз $корень из: начало аргумента: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента .$

А) $минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

Б) −4

В) $минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 4$

Г) 4

Д) $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

На малюнку зображено трикутник ABC, у якому ∠ ACB = 37°, ∠ AMN = 107°. Використовуючи дані малюнка, знайдіть градусну міру кута BAC.

А) 60°

Б) 30°

В) 26°

Г) 36°

Д) 53°

Розв’яжіть рівняння $минус x минус 2 плюс 3 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка =3 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка минус 3.$

А) 2

Б) 4

В) 5,2

Г) 4,5

Д) −4,5

На рисунку зображено графік функції $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ яка визначена на відрізку [−4; 3]. Укажіть область значень цієї функції.

А) [−1; 2]

Б) [−4; 3]

В) [−1; 1]

Г) [−2; 3]

Д) [−4; −2]

Спростіть вираз $дробь: числитель: x в квадрате минус 22x плюс 121, знаменатель: x в квадрате минус 11x конец дроби : дробь: числитель: x в квадрате минус 121, знаменатель: x в кубе конец дроби$ .

А) $дробь: числитель: x, знаменатель: x плюс 11 конец дроби$

Б) $дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 11 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x в степени 4 конец дроби$

В) $дробь: числитель: x минус 11, знаменатель: x плюс 11 конец дроби$

Г) $дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: x минус 11 конец дроби$

Д) $дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: x плюс 11 конец дроби$

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Через будь-які три точки проходить тільки одна пряма.

II. Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює напіврізниці її основ.

III. Вписані кути, що спираються на одну й ту саму хорду кола, рівні.

А) Тільки І I

Б) Тільки II

В) Тільки III

Г) Тільки I и II

Д) Всі твердження

10.  

$дробь: числитель: 2a плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби =$

А) a + 2

Б) 2a + 1

В) a + 1

Г) 2a

Д) a

11.  

Розв’яжіть систему нерівностей: $система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше 0,169 минус x в квадрате больше или равно 0. конец системы .$

А) $левая круглая скобка 1; 13 правая квадратная скобка$

Б) $левая квадратная скобка минус 13; 13 правая квадратная скобка$

В) $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 13 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 13; плюс бесконечность правая круглая скобка$

Г) $левая квадратная скобка минус 13; 1 правая круглая скобка$

Д) $левая квадратная скобка минус 13; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 13 правая квадратная скобка$

12.  

У правильній трикутній піраміді SABC з вершиною S бісектриси трикутника ABC перетинаються в точці O. Площа трикутника ABC дорівнює 2; об'єм піраміди дорівнює 6. Знайдіть довжину відрізка OS.

А) 15

Б) 18

В) 9

Г) 3

Д) 24

13.  

Знайдіть корінь рівняння $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе = 8.$

А) $левая круглая скобка 2;2,5 правая квадратная скобка$

Б) $левая круглая скобка минус 1;0 правая квадратная скобка$

В) $левая круглая скобка 2,5;4 правая квадратная скобка$

Г) $левая круглая скобка 1;2 правая квадратная скобка$

Д) $левая круглая скобка 4;5 правая круглая скобка$

14.  

Знайдіть площу ромба, якщо його сторони дорівнюють 1, а один із кутів дорівнює 150°.

А) 1

Б) 0,5

В) 2

Г) 8

Д) 4

15.  

Знайдіть похідну функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 2x плюс x в кубе конец дроби .$

А) $дробь: числитель: 2x в кубе плюс 3x в квадрате плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка 2x плюс x в кубе правая круглая скобка в квадрате конец дроби$

Б) $дробь: числитель: 2x в кубе плюс 3x в квадрате плюс 2, знаменатель: 4x плюс 2x в кубе конец дроби$

В) $дробь: числитель: 2x в кубе плюс 3x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 2x плюс x в кубе правая круглая скобка в квадрате конец дроби$

Г) $минус дробь: числитель: 2x в кубе плюс 3x в квадрате плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка 2x плюс x в кубе правая круглая скобка в квадрате конец дроби$

Д) $дробь: числитель: 2x в кубе плюс 3x в квадрате плюс 2, знаменатель: 2x плюс x в кубе конец дроби$

19.  

Геометрична прогресія $левая круглая скобка b_n правая круглая скобка$ задана формулою n-го члена $b_n = 2 умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .$ Вкажіть четвертий член цієї прогресії.

Відповідь: ,.

20.  

У фінал пісенного конкурсу вийшло 4 солісти та 3 гурти. Порядковий номер виступу фіналістів визначають жеребкуванням. Скільки всього є варіантів послідовностей виступів фіналістів, якщо спочатку виступатимуть гурти, а після них — солісти?

Уважайте, що кожен фіналіст виступатиме у фіналі лише один раз.

Відповідь: ,.

21.  

Даны векторы $\vec a левая круглая скобка 3; 4 правая круглая скобка$ и $\vec b левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая круглая скобка .$ Найдите косинус угла между ними.

Відповідь: ,.

22.  

Определите, при каких значениях параметра a, $a больше 3,$ такие, что уравнение $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 4a минус 4=0$ имеет ровно один корень.

Відповідь: ,.

Решение. Пусть $t=2 в степени x ,$ тогда $t в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка t плюс 4 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =0.$ Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, полученное уравнение должно иметь:

− единственный корень, который положителен (случай 1);

− два корня, один из которых положительный, а второй отрицательный (случай 2);

− два корня, один из которых положительный, а второй равен нулю (случай 3).

Случай 1. Дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю:

$левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 16 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно a в квадрате плюс 6a плюс 9 минус 16a плюс 16=0 равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 10a плюс 25=0 равносильно левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно a=5.$ $левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 16 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно a в квадрате плюс 6a плюс 9 минус 16a плюс 16=0 равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 10a плюс 25=0 равносильно левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно a=5.$

Тогда $t= дробь: числитель: a плюс 3, знаменатель: 2 конец дроби =4,$ что соответствует условию положительности корня.

Случай 2. Пусть $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка t плюс 4a минус 4,$ тогда $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка меньше 0,$ т. е. $4a минус 4 меньше 0,$ откуда $a меньше 1.$

Случай 3. Необходимо и достаточно выполнения системы $система выражений f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0,t_в больше 0, конец системы .$ откуда

$система выражений 4a минус 4=0, дробь: числитель: a плюс 3, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно a=1.$

Объединяя рассмотренные случаи с учетом условия $a больше 3,$ окончательно получаем $a=5.$

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка 5 правая фигурная скобка .$

Приведем другое решение.

Пусть $t=2 в степени x ,$ тогда $t в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка t плюс 4 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =0.$ Заметим, что сумма корней уравнения $t в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка t плюс 4 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =0$ равна $a плюс 3,$ а их произведение равно $4a минус 4.$ Следовательно, это числа 4 и $a минус 1.$ Чтобы исходное уравнение имело ровно одно решение, полученное уравнение должно иметь ровно одно положительное решение. Для этого корень $a минус 1$ либо должен совпадать с числом 4, либо быть неположительным. Отсюда находим: $a\leqslant1$ и $a=5.$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1752	4
2	2539	1
3	2566	1
4	2202	4
5	513	4
6	266	2
7	1852	1
8	1903	5
9	1583	2
10	1713	3
11	1471	5
12	651	3
13	443	3
14	2227	2
15	1633	4
16	1643	ВДГ
17	2465	А В Г
18	1517	Д Г В
19	621	-54
20	2620	144
21	2634	-0 96
22	2419	5

Ключ