Вер­ши­на пра­виль­ной пи­ра­ми­ды про­ек­ти­ру­ет­ся в центр ее ос­но­ва­ния. В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке со сто­ро­ной a рас­сто­я­ние от его цен­тра до сто­ро­ны равно ра­ди­у­су впи­сан­ной окруж­но­сти, ко­то­рый равен Так как угол между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем равен 45°, вы­со­та пи­ра­ми­ды также равна Тогда имеем:

Ответ: 48.

В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке сто­ро­на равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му най­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Пло­щадь ос­но­ва­ния

Ответ: 12.

По­сколь­ку бо­ко­вые грани SAB, SDC и SBC на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию. под углом 60°, углы A и D в тре­уголь­ни­ке ASD и угол G в тре­уголь­ни­ке SGH равны 60°.

По­это­му тре­уголь­ник ASD — рав­но­сто­рон­ний, а его сто­ро­на свя­за­на с вы­со­той фор­му­лой от­ку­да

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SHG на­хо­дим:

По­сколь­ку ABCD — пря­мо­уголь­ник, его пло­щадь равна про­из­ве­де­ния сто­рон:

Оста­лось найти объём пи­ра­ми­ды:

Ответ: 48.

Пло­щадь ос­но­ва­ния равна

Из фор­му­лы для объ­е­ма пи­ра­ми­ды най­дем вы­со­ту:

В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке сто­ро­на равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му най­дем бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 7.

Дан­ные пи­ра­ми­ды имеют общую вы­со­ту, по­это­му их объ­е­мы со­от­но­сят­ся как пло­ща­ди их ос­но­ва­ний. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной a равна Пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с бо­ко­вой сто­ро­ной a и углах при ос­но­ва­нии равна По­лу­ча­ем, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC в раз. Зна­чит, ис­ко­мый объём равен

Ответ: 198.