СКЛАДУ НМТ: завдання, відповіді, рішення

Вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°. Вокруг ромба и неравнобедренной трапеции окружность описать нельзя, вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

РешениеСпрятать решение

Тип 9 № 1488 Добавить в вариант

Кодификатор Решу НМТ:

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат;

5.1.4 Окружность и круг;

5.1.7 Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника.

Классификатор планиметрии: Многоугольники, Многоугольники и их свойства, Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Четырёхугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями

Справедливість тверджень планіметрії. Многокутники та кола

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Навколо будь-якого ромба можна описати коло.

II. Діагоналі будь-якого ромба взаємно перпендикулярні.

III. У будь-якому ромбі всі сторони рівні.

А) лише I та II

Б) лише I та III

В) лише II

Г) лише II та III

Д) I, II та III

Решение.

1. Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если сумма противоположных углов равна 180°. В любом ромбе это свойство не выполняется. Утверждение неверно.

2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны по его свойству. Утверждение верно.

3. Все стороны ромба равны по его определению. Утверждение верно.

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

РешениеСпрятать решение

Тип 18 № 1517 Добавить в вариант

Кодификатор Решу НМТ:

5.1.1 Треугольник;

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат;

5.1.4 Окружность и круг;

5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника;

5.1.6 Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника;

5.1.7 Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника.

Классификатор планиметрии: Вписанные окружности, Многоугольники, Многоугольники и их свойства, Окружности, Окружности и треугольники, Окружности и четырёхугольники, Окружность, вписанная в треугольник, Окружность, вписанная в четырехугольник, Правильный шестиугольник, Треугольники

Обчислення у планіметрії. Многокутники

Установіть відповідність між геометричною фігурою (1—3) та радіусом кола (А—Д), вписаного в цю геометричну фігуру.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Гаометрична фігура

1.    правильний трикутник, висота якого дорівнює $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ (рис. 1)

2.    ромб, висота якого дорівнює $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ (рис. 2)

3.    квадрат, діагональ якого дорівнює $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ (рис. 3)

Радіус кола, вписаного в геометричну фігуру

А    $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$

Б    1

В    $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$

Г    $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$

Д    $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби$

Решение.

Найдем радиус окружности, которая вписана в каждую из фигур, изображенных на рисунках.

Рис. 1. Центр окружности, вписанной в любой треугольник, находится в точке пересечения биссектрис треугольника. В равностороннем треугольнике биссектрисы одновременно являются его высотами и медианами, а точкой соприкосновения делятся на отрезки по отношению 2:1, считая от вершины треугольника. Получается, что радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ его высоты. По условию задачи высота равна $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ тогда радиус вписанной в треугольник окружности равен $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$ Итак, 1 — Д.

Рис. 2. Радиус r окружности, вписанной в ромб, равен половине длины высоты h этого ромба (см. рисунок 2). Найдем его длину: $r = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ Получаем: 2 — Г.

Рис. 3. Радиус r окружности, вписанной в квадрат, длина стороны которого рана a, равен половине его стороны: $r= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби .$ Если диагональ квадрата равна $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ то $a=1.$ Тогда $r= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Итак, 3 — В.

Ответ: 1 — Д, 2 — Г, 3 — В.

Ответ: Д&Г&В

РешениеСпрятать решение

Тип 18 № 1528 Добавить в вариант

Кодификатор Решу НМТ:

5.1.4 Окружность и круг;

5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника;

5.1.7 Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника.

Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Многоугольники, Многоугольники и их свойства, Окружности, Окружности и треугольники, Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника, Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Треугольники

Обчислення у планіметрії. Кола

На кожному з рисунків зображено коло з центром у точці О та хорду АВ. Кут ACB і ADB — вписані кути, які спираються на хорду АВ. Установіть відповідність між вписаним кутом АСВ, зображеним на рисунках (1−3), та його градусною мірою (А−Д).

Рисунки

Градусна мiра вписаного кута ACB

А    100°

Б    90°

В    80°

Г    60°

Д    50°

Решение.

1. В окружность вписан четырехугольник, поэтому сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°. Зная, что $\angleACB плюс \angleD = 180 градусов ,$ определим, что $\angleACB = 80 градусов.$ Итак, 1 — В.

2. Воспользовавшись свойством центрального и вписанного углов, определим, что $\angleACB = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angleO = 50 градусов .$ Таким образом, 2 — Д.

3. Угол $\angleACB$  — вписанный, опирающийся на диаметр. Его градусная мера равна 90°. Получаем: 3 — Б.

Ответ: 1 — В, 2 — Д, 3 — Б.

Ответ: В&Д&Б

РешениеСпрятать решение

Тип 18 № 1566 Добавить в вариант

Кодификатор Решу НМТ:

5.1.1 Треугольник;

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат;

5.1.3 Трапеция;

5.1.4 Окружность и круг;

5.1.7 Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника.

Классификатор планиметрии: Многоугольники, Многоугольники и их свойства, Окружности, Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Треугольники

Обчислення у планіметрії. Многокутники

У прямокутник ABCD вписано рівнобедрений трикутник AKD так, як показано на рисунку. АD = 12 см, АК = 10 см. До кожного початку речення (1−3) доберіть його закінчення (А−Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1.    Довжина сторони АВ дорівнює

2.    Радіус кола, описаного навколо прямокутника АВСD, дорівнює

3.    Довжина середньої лінії трапеції АВКD дорівнює

Закінчення речення

А    $2 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента$ см

Б    8 см

В    9 см

Г    $4 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента$ см

Д    4 см

Решение.

1. Согласно условию, в прямоугольник ABCD, длины которого равны 12 см, вписан равнобедренный треугольник AKD. В таком случае

$BK = KC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC = 6 см.$

Треугольник ABK — египетский прямоугольный треугольник, длина катета AB равна 8 см. Тогда ответ: 1 — Б.

2. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей, а ее радиус равен половине длины диагонали прямоугольника. Треугольник ABD — прямоугольный. Воспользуемся теоремой Пифагора:

$BD в квадрате = AB в квадрате плюс AD в квадрате равносильно 8 в квадрате плюс 12 в квадрате = BD в квадрате равносильно BD = корень из: начало аргумента: 208 конец аргумента = 4 корень из 1 3.$

Так как радиус описанной вокруг прямоугольника окружности равен половине длины диагонали, $R = 2 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$ Итак, 2 — А.

3. Длину средней линии трапеции ABKD найдем как половину суммы оснований. Получаем:

$дробь: числитель: AD плюс BK, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 12 плюс 6, знаменатель: 2 конец дроби = 9 см.$

Таким образом, 3 — В.

Ответ: 1 —Б, 2 — А, 3 — В.

Ответ: Б&А&В

РешениеСпрятать решение

Всего: 6 1–6

Наверх