СКЛАДУ НМТ: завдання, відповіді, рішення

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 22 № 2259 Добавить в вариант

Визначте найменше ціле значення a, за якого один із коренів рівняння

$логарифм по основанию 2 в квадрате x минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус a = 0$

належить проміжку (30; 100).

Відповідь: ,.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $t= логарифм по основанию 2 x,$ тогда исходное уравнение записывается в виде

$t в квадрате минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка t минус a=0.$

Полученное уравнение является квадратным относительно параметра, вычислим дискриминант уравнения:

$D= левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 4a=a в квадрате плюс 2a плюс 1= левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате .$

Тогда $t= дробь: числитель: a минус 1\pm левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда $t= минус 1$ или $t=a,$ то есть $логарифм по основанию 2 x= минус 1$ или $логарифм по основанию 2 x=a.$ Из первого уравнения $x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ этот корень не лежит в интервале (30; 100). Из второго уравнения $x=2 в степени a .$ Найдем наименьшее целое значение a, при котором корень этого уравнения принадлежит интервалу (30; 100):

$30 меньше 2 в степени a меньше 100.$

Полученному неравенству удовлетворяют целые числа 5 и 6. Наименьшее из них равно 5.

Ответ: 5.

Примечание.

Искать корни квадратного уравнения удобно по теореме, обратной теореме Виета. Например, для уравнения

$t в квадрате минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка t минус a=0.$

можно заметить, что сумма корней равна $a минус 1,$ а произведение равно –a. Ясно, что это числа $t=a$ и $t= минус 1.$

Источник: НМТ 2023 року з математики — демонстраційний варіант

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение