СКЛАДУ НМТ: завдання, відповіді, рішення

Каталог заданий.
Многокутники

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 1433 Добавить в вариант

Источник: НМТ 2022 року з математики — демонстраційний варіант

Кодификатор Решу НМТ:

5.1.1 Треугольник;

5.1.4 Окружность и круг;

5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника.

Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и треугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника, Треугольники

Обчислення у планіметрії. Многокутники

У прямокутному трикутнику АВС катет АС = 12 см, гіпотенуза АВ = 20 см.

Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А–Д).

Відрізок

1 катет BC

2 радіус кола, описаного навколо трикутника АВС

3 висота трикутника АВС, проведена до гіпотенузи АВ

Довжина відрізка

А 19,2 см

Б 9,6 см

В 10 см

Г 8 см

Д 16 см

Решение.

1. Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем длину катета BC:

$BC в квадрате = AB в квадрате минус AC в квадрате равносильно BC = корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус AC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 20 в квадрате минус 12 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 256 конец аргумента = 16 см.$ $BC в квадрате = AB в квадрате минус AC в квадрате равносильно$
$равносильно BC = корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус AC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 20 в квадрате минус 12 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 256 конец аргумента = 16 см.$

Ответ — Д.

2. Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, то есть 10 см. Ответ — В.

3. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе. Имеем: $h = дробь: числитель: BC умножить на AC, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 16 умножить на 12, знаменатель: 20 конец дроби = 9,6 см.$ Ответ — Б.

Ответ: ДВБ.

Ответ: Д&В&Б

Источник: НМТ 2022 року з математики — демонстраційний варіант

РешениеСпрятать решение

Тип 18 № 1515 Добавить в вариант

Кодификатор Решу НМТ: 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Классификатор планиметрии: Многоугольники, Многоугольники и их свойства

Обчислення у планіметрії. Многокутники

У прямокутнику ABCD: AB = 6 см, BC = 8 см (див. рисунок). На сторонах AB, BC і AD цього прямокутника вибрано точки К, M і N так, що AK = KB, BM = MC, $NK \perp KM.$ До кожного початку речення (1—3) доберіть його закінчення (А—Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1 Відстань від середини відрізка КМ до сторони AD дорівнює

2 Відстань від точки перетину діагоналей прямокутника ABCD до точки K дорівнює

3 Довжина відрізка KM дорівнює

Закінчення речення

А    4,5 см

Б    5 см

В    4 см

Г    3,75 см

Д    3,5 см

Решение.

Опустим перпендикуляр MH на сторону AD. Тогда MHDC — прямоугольник, $MH=CD=AB=6$ см. Значит MHAK — прямоугольная трапеция и ее средняя линия (расстояние от середины KM до AD) равна

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка AK плюс MH правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB плюс 6 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 3 плюс 6 правая круглая скобка = дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби =4,5 см.$

Поскольку диагонали ABCD пересекаются в их общей середине O, можно искать расстояние OK как среднюю линию треугольника BAD. Она равна

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 8=4 см.$

По теореме Пифагора

$KM= корень из: начало аргумента: KB в квадрате плюс BM в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 3 в квадрате плюс 4 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 9 плюс 16 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 25 конец аргумента =5 см.$

Ответ: 1 — А, 2 — В, 3 — Б.

Ответ: А&В&Б

РешениеСпрятать решение

Тип 18 № 1517 Добавить в вариант

Кодификатор Решу НМТ:

5.1.1 Треугольник;

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат;

5.1.4 Окружность и круг;

5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника;

5.1.6 Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника;

5.1.7 Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника.

Классификатор планиметрии: Вписанные окружности, Многоугольники, Многоугольники и их свойства, Окружности, Окружности и треугольники, Окружности и четырёхугольники, Окружность, вписанная в треугольник, Окружность, вписанная в четырехугольник, Правильный шестиугольник, Треугольники

Обчислення у планіметрії. Многокутники

Установіть відповідність між геометричною фігурою (1—3) та радіусом кола (А—Д), вписаного в цю геометричну фігуру.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Гаометрична фігура

1.    правильний трикутник, висота якого дорівнює $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ (рис. 1)

2.    ромб, висота якого дорівнює $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ (рис. 2)

3.    квадрат, діагональ якого дорівнює $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ (рис. 3)

Радіус кола, вписаного в геометричну фігуру

А    $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$

Б    1

В    $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$

Г    $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$

Д    $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби$

Решение.

Найдем радиус окружности, которая вписана в каждую из фигур, изображенных на рисунках.

Рис. 1. Центр окружности, вписанной в любой треугольник, находится в точке пересечения биссектрис треугольника. В равностороннем треугольнике биссектрисы одновременно являются его высотами и медианами, а точкой соприкосновения делятся на отрезки по отношению 2:1, считая от вершины треугольника. Получается, что радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ его высоты. По условию задачи высота равна $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ тогда радиус вписанной в треугольник окружности равен $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$ Итак, 1 — Д.

Рис. 2. Радиус r окружности, вписанной в ромб, равен половине длины высоты h этого ромба (см. рисунок 2). Найдем его длину: $r = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ Получаем: 2 — Г.

Рис. 3. Радиус r окружности, вписанной в квадрат, длина стороны которого рана a, равен половине его стороны: $r= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби .$ Если диагональ квадрата равна $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ то $a=1.$ Тогда $r= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Итак, 3 — В.

Ответ: 1 — Д, 2 — Г, 3 — В.

Ответ: Д&Г&В

РешениеСпрятать решение

Тип 18 № 1519 Добавить в вариант

Кодификатор Решу НМТ: 5.1.1 Треугольник

Классификатор планиметрии: Треугольники

Обчислення у планіметрії. Многокутники

У трикутнику АВС: АB = с, ВС = а, АС = b. До кожного початку речення (1−3) доберіть його закінчення (А−Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1.    Якщо a = b = c

2.    Якщо $c в квадрате = a в квадрате плюс b в квадрате$

3.    Якщо $a = c = дробь: числитель: b, знаменатель: корень из 2 конец дроби$

Закінчення речення

А    то $\angleC = 30 градусов$

Б    то $\angleC = 45 градусов$

В    то $\angleC = 60 градусов$

Г    то $\angleC = 90 градусов$

Д    то $\angleC = 120 градусов$

Решение.

1. Если $a=b=c,$ то треугольник ABC — равносторонний. Все углы равностороннего треугольника равны $60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ поэтому $\angle C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Получаем: 1 — В.

2. Если $c в квадрате =a в квадрате плюс b в квадрате ,$ то по следствию из теоремы косинусов треугольник ABC — прямоугольный. Следовательно 2 — Г.

3. Если $a=c= дробь: числитель: b, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ,$ то треугольник ABC — равнобедренный, его боковые стороны — a и c, основание — b. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, поэтому если CB = BA, а отрезки BH и AC перпендикулярны, получаем: $CH = HA = дробь: числитель: b, знаменатель: 2 конец дроби .$ Треугольник BHC — прямоугольный,

$косинус \angleC = дробь: числитель: CH, знаменатель: CB конец дроби = дробь: числитель: b, знаменатель: 2 конец дроби = 45 градусов.$

Таким образом, 3 —Б.

Ответ: 1 — В, 2 — Г, 3 — Б.

Ответ: В&Г&Б

РешениеСпрятать решение

Тип 18 № 1523 Добавить в вариант

Кодификатор Решу НМТ:

5.1.1 Треугольник;

5.5.1 Величина угла, градусная мера угла.

Классификатор планиметрии: Треугольники

Обчислення у планіметрії. Многокутники

Рівносторонній трикутник ABC та рiвнобедрений трикутник ACD, у якому AC = DC i $\angleACD = 40 градусов,$ лежать в одній площині (див. рисунок). Установіть відповідність між кутом (1−3) та його градусною мірою (А−Д).

Кут

1.    $\angleABC$

2.    $\angleADC$

3.    кут мiж прямими AB i AD

Градусна мiра кута

А    45°

Б    50°

В    60°

Г    65°

Д    70°

Решение.

1. Треугольник ABC — равносторонний, поэтому $\angleABC = 60 градусов.$ Получаем: 1 — В.

2. Треугольник ACD — равнобедренный, его углы при основании равны. Отсюда

$\angleD = дробь: числитель: 180 градусов минус \angleACD, знаменатель: 2 конец дроби = 70 градусов .$

Таким образом, 2 — Д.

3. Найдем градусную меру угла $\angleBAD:$

$\angleBAD = \angleBAC плюс \angleCAD = 130 градусов .$

Углом между пересекающимися прямыми называют меньший из двух углов, образовавшихся при пересечении прямых. Прямые AB и AD образуют острый угол, его градусная мера равна 180°−130° = 50°. Итак, 3 — Б.

Ответ: 1 — B, 2 — Д, 3 — Б.

Ответ: В&Д&Б

РешениеСпрятать решение

Пройти тестирование по этим заданиям

Наверх