СКЛАДУ НМТ — математика

Варианты заданий

1.  Тип 19 № 624 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Кодификатор Решу НМТ: Задачи на прогрессии

Арифметична та геометрична прогресії. Формули

У геометричній прогресії сума першого та другого членів дорівнює 75, а сума другого та третього членів дорівнює 150. Знайдіть перші три члени цієї прогресії.

У відповіді запишіть перший, другий та третій члени прогресії без прогалин.

Решение. По условию $b_1 плюс b_2=75,$ $b_2 плюс b_3=150.$ Запишем эти равенства в виде системы уравнений на первый член и знаменатель прогрессии и решим эту систему:

$система выражений b_1 плюс b_1q=75,b_1q плюс b_1q в квадрате =150 конец системы равносильно система выражений b_1 плюс b_1q=75,q левая круглая скобка b_1 плюс b_1q правая круглая скобка =150 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений b_1 плюс b_1q=75,q умножить на 75=150 конец системы равносильно система выражений 3b_1=75,q=2 конец системы равносильно система выражений b_1=25,q=2. конец системы$ $система выражений b_1 плюс b_1q=75,b_1q плюс b_1q в квадрате =150 конец системы равносильно система выражений b_1 плюс b_1q=75,q левая круглая скобка b_1 плюс b_1q правая круглая скобка =150 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений b_1 плюс b_1q=75,q умножить на 75=150 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений 3b_1=75,q=2 конец системы равносильно система выражений b_1=25,q=2. конец системы$ $система выражений b_1 плюс b_1q=75,b_1q плюс b_1q в квадрате =150 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений b_1 плюс b_1q=75,q левая круглая скобка b_1 плюс b_1q правая круглая скобка =150 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений b_1 плюс b_1q=75,q умножить на 75=150 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений 3b_1=75,q=2 конец системы равносильно система выражений b_1=25,q=2. конец системы$

Теперь найдём второй и третий члены прогрессии:

$b_2=b_1q=25 умножить на 2=50, b_3=b_2q=50 умножить на 2 =100.$ $b_2=b_1q=25 умножить на 2=50, b_3=$
$=b_2q=50 умножить на 2 =100.$ $b_2=b_1q=25 умножить на 2=$
$=50, b_3=$
$=b_2q=50 умножить на 2 =100.$

Ответ: 2550100.

Приведём другое решение.

Пусть b — первый член, а q — знаменатель прогрессии. Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии отличается от суммы второго и третьего в q раз, поэтому q = 2. Тогда b + 2b = 75, поэтому b = 25. Таким образом, искомые члены прогрессии равны 25, 50 и 100.

Ответ: 2550100

624

2550100

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Кодификатор Решу НМТ: Задачи на прогрессии

2.  Тип 19 № 625 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Кодификатор Решу НМТ: Задачи на прогрессии

Арифметична та геометрична прогресії. Формули

У геометричній прогресії сума першого та другого членів дорівнює 48, а сума другого та третього членів дорівнює 144. Знайдіть перші три члени цієї прогресії.

У відповіді запишіть перший, другий і третій члени прогресії без пробілів.

Решение. По условию $b_1 плюс b_2=48,$ $b_2 плюс b_3=144.$ Запишем эти равенства в виде системы уравнений на первый член и знаменатель прогрессии, и решим эту систему:

$система выражений b_1 плюс b_1q=48,b_1q плюс b_1q в квадрате =144 конец системы равносильно система выражений b_1 плюс b_1q=48,q левая круглая скобка b_1 плюс b_1q правая круглая скобка =144 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений b_1 плюс b_1q=48,q умножить на 48=144 конец системы равносильно система выражений 4b_1=48,q=3 конец системы равносильно система выражений b_1=12,q=3. конец системы$ $система выражений b_1 плюс b_1q=48,b_1q плюс b_1q в квадрате =144 конец системы равносильно система выражений b_1 плюс b_1q=48,q левая круглая скобка b_1 плюс b_1q правая круглая скобка =144 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений b_1 плюс b_1q=48,q умножить на 48=144 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений 4b_1=48,q=3 конец системы равносильно система выражений b_1=12,q=3. конец системы$ $система выражений b_1 плюс b_1q=48,b_1q плюс b_1q в квадрате =144 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений b_1 плюс b_1q=48,q левая круглая скобка b_1 плюс b_1q правая круглая скобка =144 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений b_1 плюс b_1q=48,q умножить на 48=144 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений 4b_1=48,q=3 конец системы равносильно система выражений b_1=12,q=3. конец системы$

Теперь найдём второй и третий члены прогрессии:

$b_2=b_1q=12 умножить на 3=36, b_3=b_2q=36 умножить на 3 =108.$ $b_2=b_1q=12 умножить на 3=36, b_3=$
$=b_2q=36 умножить на 3 =108.$ $b_2=b_1q=12 умножить на 3=$
$=36, b_3=$
$=b_2q=36 умножить на 3 =108.$

Ответ: 1236108.

Ответ: 1236108

625

1236108

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Кодификатор Решу НМТ: Задачи на прогрессии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	624	2550100
2	625	1236108