Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 B7 № 916
i

У пра­вильній три­кутній піраміді бічне ребро дорівнює 5, а тан­генс кута між бічною гран­ню і пло­щи­ною ос­но­ви дорівнює 0,25 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та . Знай­ти бік ос­но­ви піраміди.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Вы­ра­зим длину сто­ро­ны AC через длину бо­ко­вой сто­ро­ны AS. Вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка вы­ра­жа­ет­ся через его сто­ро­ну: AH= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AC. Точ­кой O вы­со­та AH де­лит­ся в от­но­ше­нии 2 : 1, по­это­му

AO= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби AH= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби AC,

OH= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби AH= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AC= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби AC.

Угол SHO равен углу между бо­ко­вой гра­нью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOH:

SO=OH тан­генс \angle SHO= дробь: чис­ли­тель: 1 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AC= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 33 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби AC.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOS по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

AS= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AO в квад­ра­те плюс SO в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби AC в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 192 конец дроби AC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =
=AC ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 192 конец дроби конец ар­гу­мен­та =AC ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 64 плюс 11, зна­ме­на­тель: 192 конец дроби конец ар­гу­мен­та =AC ко­рень из д робь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 64 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби AC.

От­ку­да AC= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби AS=8.

 

Ответ: 8.

Кодификатор Решу НМТ: 5.3.3 Пи­ра­ми­да, её ос­но­ва­ние, бо­ко­вые рёбра, вы­со­та, бо­ко­вая по­верх­ность
Классификатор стереометрии: Пи­ра­ми­да, Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, Тре­уголь­ная пи­ра­ми­да
Спрятать решение