СКЛАДУ НМТ — математика

Задания

Тип 22 № 2699 Добавить в вариант

Источник: Тренировочная работа НМТ-2023 по математике (вариант 1)

Задачi з параметром. Завдання для підготовки

Визначте кількість цілих значень a, за яких корені x₁ та x₂ квадратного рівняння $x в квадрате минус 4ax плюс 4a в квадрате минус 25 = 0$ задовольняють умову $x_1 меньше 1 меньше x_2.$

Відповідь: ,.

Решение. Преобразуем уравнение:

$x в квадрате минус 4ax плюс 4a в квадрате минус 25 = 0 равносильно x в квадрате минус 2 умножить на 2a умножить на x плюс левая круглая скобка 2a правая круглая скобка в квадрате = 5 в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 2a правая круглая скобка в квадрате = 5 в квадрате равносильно совокупность выражений x минус 2a = 5, x минус 2a = минус 5 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 2a плюс 5, x = 2a минус 5. конец совокупности .$ $x в квадрате минус 4ax плюс 4a в квадрате минус 25 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 2 умножить на 2a умножить на x плюс левая круглая скобка 2a правая круглая скобка в квадрате = 5 в квадрате равносильно левая круглая скобка x минус 2a правая круглая скобка в квадрате = 5 в квадрате равносильно$
$равносильно совокупность выражений x минус 2a = 5, x минус 2a = минус 5 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 2a плюс 5, x = 2a минус 5. конец совокупности .$ $x в квадрате минус 4ax плюс 4a в квадрате минус 25 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 2 умножить на 2a умножить на x плюс левая круглая скобка 2a правая круглая скобка в квадрате = 5 в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 2a правая круглая скобка в квадрате = 5 в квадрате равносильно$
$равносильно совокупность выражений x минус 2a = 5, x минус 2a = минус 5 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 2a плюс 5, x = 2a минус 5. конец совокупности .$ $x в квадрате минус 4ax плюс 4a в квадрате минус 25 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 2 умножить на 2a умножить на x плюс левая круглая скобка 2a правая круглая скобка в квадрате = 5 в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 2a правая круглая скобка в квадрате = 5 в квадрате равносильно$
$равносильно совокупность выражений x минус 2a = 5, x минус 2a = минус 5 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = 2a плюс 5, x = 2a минус 5. конец совокупности .$

Из условия следует, что корни различны. Кроме того, $2a плюс 5 больше 2a минус 5$ при всех значениях параметра. Должно быть выполнено условие:

$2a минус 5 меньше 1 меньше 2a плюс 5 равносильно система выражений 2a минус 5 меньше 1, 2a плюс 5 больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2a меньше 6, 2a больше минус 4 конец системы . равносильно система выражений a меньше 3, a больше минус 2. конец системы .$ $2a минус 5 меньше 1 меньше 2a плюс 5 равносильно$
$равносильно система выражений 2a минус 5 меньше 1, 2a плюс 5 больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2a меньше 6, 2a больше минус 4 конец системы . равносильно система выражений a меньше 3, a больше минус 2. конец системы .$

В полученный промежуток входят 4 целых значения параметра: –1, 0, 1 и 2

Ответ: 4.

Ответ: 4

2699

Источник: Тренировочная работа НМТ-2023 по математике (вариант 1)

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2699	4